Jump to content
Vesperala Forum
Sign in to follow this  
vesperala

Masterat matematică

Recommended Posts

"Sisteme dinamice şi probleme de evoluţie"

-masterat pentru absolvenţii a cursurilor cu durata de 4 ani , zi, 2008 sau pentru absolvenţii din anii anteriori

Universitatea din Craiova

 

 

programa:

 

http://www.studentie.ro/MASTER_MATEMATICI_...-489789476.html

 

Sesiunea septembrie 2008

Subiectul 1.

 

Arătaţi că aplicaţia x=(x1,x2,x3,...,xn)din R n ---> ||x|| definită prin ||x||=sqrt( x12+ x22 +x32+...+ xn2) este o normă pe R n

 

Pentru rezolvare

-se verifică proprietăţile normei.

1o ||x||este pozitivă

||x||=0 <=> x=0Rn

2o ||ax||=|a|.||x||, pentru orice a real, x din R n

3o ||x+y||=||x||+||y||, pentru orice x şi y din R n

 

-inegalitatea triunghiului (3) rezultă cu ajutorul inegalităţii Cauchy Buniakovski Schwarz

 

 

Subiectul 2.

Enunţaţi şi demonstraţi principiul contracţiilor . Folosiţi principiul contracţiilor pentru a arăta că următoarea ecuaţie are o unică rădăcină reală : 2x-cosx=0

 

 

Rezolvare:

Teorie

La demonstrarea principiului se are în vedere verificarea separată a existenţei soluţiei şi a unicităţii acesteia. Se foloseşte metoda aproximaţiilor succesive, construindu-se şir convergent la soluţie, din iterate ale funcţiei.

 

Aplicaţie

Se scrie ecuaţia sub forma (cosx)/2=x şi se aplică principiul arătând că f(x)=(cosx)/2 este o contracţie pe intervalul [0, pi/2].

La verificarea faptului că e o contracţie se ia x, y oarecare în interval şi se aplică teorema lui Lagrange a creşterilor finite pentru funcţia f. Se va putea lua prin urmare constanta din definiţia contracţiei egală cu 1/2.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Loading...
Sign in to follow this  

×
×
  • Create New...