vesperala Posted September 18, 2008 Report Share Posted September 18, 2008 "Sisteme dinamice şi probleme de evoluţie" -masterat pentru absolvenţii a cursurilor cu durata de 4 ani , zi, 2008 sau pentru absolvenţii din anii anteriori Universitatea din Craiova programa: http://www.studentie.ro/MASTER_MATEMATICI_...-489789476.html Sesiunea septembrie 2008 Subiectul 1. Arătaţi că aplicaţia x=(x1,x2,x3,...,xn)din R n ---> ||x|| definită prin ||x||=sqrt( x12+ x22 +x32+...+ xn2) este o normă pe R n Pentru rezolvare -se verifică proprietăţile normei. 1o ||x||este pozitivă ||x||=0 <=> x=0Rn 2o ||ax||=|a|.||x||, pentru orice a real, x din R n 3o ||x+y||=||x||+||y||, pentru orice x şi y din R n -inegalitatea triunghiului (3) rezultă cu ajutorul inegalităţii Cauchy Buniakovski Schwarz Subiectul 2. Enunţaţi şi demonstraţi principiul contracţiilor . Folosiţi principiul contracţiilor pentru a arăta că următoarea ecuaţie are o unică rădăcină reală : 2x-cosx=0 Rezolvare: Teorie La demonstrarea principiului se are în vedere verificarea separată a existenţei soluţiei şi a unicităţii acesteia. Se foloseşte metoda aproximaţiilor succesive, construindu-se şir convergent la soluţie, din iterate ale funcţiei. Aplicaţie Se scrie ecuaţia sub forma (cosx)/2=x şi se aplică principiul arătând că f(x)=(cosx)/2 este o contracţie pe intervalul [0, pi/2]. La verificarea faptului că e o contracţie se ia x, y oarecare în interval şi se aplică teorema lui Lagrange a creşterilor finite pentru funcţia f. Se va putea lua prin urmare constanta din definiţia contracţiei egală cu 1/2. Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Recommended Posts
Join the conversation
You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.